English description

Here is the page of my course “Geometry in Computer Science”, which I’m reading (in Russian, jointly with Alexander Perepechko) for the 3rd year students of the Department of Innovation and High Technology at MIPT.

Геометрия в компьютерных приложениях

Здесь находится страница курса “Геометрия в компьютерных приложениях”, читаемого мною (совместно с А.Ю. Перепечко) для студентов 3-го курса ФИВТ МФТИ. Материалы лекций доступны ниже.

Основным источником материалов являются слайды лекций и книга американского профессора Keenan Crane. Это ссылка на страницу его курса со слайдами лекций и упражнениями.

Лекции

Лекция 1. 19.02.2018. Введение. Симплициальные комплексы. Сетки на поверхностях.

Лекция 2. 26.02.2018. Дискретные поверхности. Внешние формы на многообразиях. Дискретные внешние формы на дискретных поверхностях.

• Часть 1: Алгебра внешних форм.
• Часть 2: Дифференциальные формы.
• Часть 3: Анализ внешних форм в $\mathbb{R}^N$.
• Часть 4: Дискретные внешние формы.

Лекция 3. 05.03.2018. Дискретные внешние формы, дискретный дифференциал, дискретная звезда Ходжа, дискретное внешнее умножение.

• Слайды
• Конспект (русс.)

Лекция 4. 12.03.2018. Дискретные формы и сетки: повторение.

Лекция 5. 19.03.2018. Дискретные кривизны и нормали. См. [1] K. Crane “DDG”, стр. 65–79.

Лекция 6. 02.04.2018. Кривизны. См конспект.

Лекция 7. 09.04.2018. Лапласиан: на римановых многообразиях, дискретизация лапласиана.

Лекция 8. 16.04.2018. Лапласиан, приложения: сглаживание и деформация, метод якорей. См конспект.

Лекционная контрольная 23.04.2018

1. Многообразия и многообразия с краем, римановы многообразия (определения и примеры).

2. Симплициальные многообразия.

   • Симплициальный комплекс: абстрактный и геометрический.
   • Симплициальное многообразие
   • Триангулированное многообразие
   • Ориентация
   • Двойственная сетка и полуребра

3. Дискретные внешние формы

   • Внешние формы: внешнее умножение, звезда Ходжа
   • Дифференцирование и интегрирование дифференциальных форм на многообразиях, теорема Стокса (без док-ва)
   • Дискретные внешние формы на поверхностях: 0-, 1- и 2-формы, дискретное умножение, дискретное дифференцирование, дискретная звезда Ходжа.
   • Лапласиан и его дискретизация через внешние формы

4. Дискретные кривизны

   • Кривизны гладких поверхностей: определения и основные теоремы (без доказательств).
   • Дискретная гауссова кривизна и теорема Гаусса-Бонне
   • Нормаль к поверхности и средняя кривизна

5. Лапласиан

   • Лапласиан на римановых многообразиях
   • Собственные значения и собственные функции Лапласиана
   • Дискретизация Лапласиана через собственные функции

Семинары

• Успеваемость

• Задачи.

  • Семинар 1. 19.02.2018. Сиплициальные комплексы и триангуляции поверхностей.

  • Семинар 2. 26.02.2018. Симплициальные поверхности.

  • Семинар 3. 05.03.2018. Внешние и дифференциальные формы.

  • Семинар 4. 12.03.2018. Сетки и дискретные формы.

  • Семинар 5. 19.03.2018. Кривизны.

  • Семинар 6. 02.04.2018. Кривизны-2.

  • Семинар 7. 09.04.2018. Лапласиан. Метод конечных элементов.

  • Семинар 8. 16.04.2018. Лапласиан. Метод конечных элементов. Продолжение.

Список литературы

[1] Keenan Crane — Discrete Differential Geometry: An Applied Introduction, 2017.

[2] A.I. Bobenko, P. Schröder, J.M. Sullivan, G. Ziegler (ed.) — Discrete Differential Geometry, 2008.