English description
Here is the page of my course “Ergodic theory and dynamics of discrete groups” (in Russian) for the 3rd–5th year students or PhD students of MIPT and math departments of other universities of Russia. The course is conducted online via Zoom.
Abstract
The course is devoted to various applications of ergodic theory to discrete subgroups of Lie groups. The main concepts and theorems that are planned to be covered are: the Haar measure, lattices in Lie groups, ergodic transformations, the Howe — Moore vanishing theorem, the Moore ergodicity theorem, Ratner’s theorems, the Mostow rigidity theorem, Margulis’ Superrigidity and Arithmeticity theorems.
Program/Syllabus
Introduction. Flat torus: example. Statement of Ratner’s Orbit Closure Theorem. Statement of the Margulis’ theorem about the values of quadratic forms: the Oppenheim Conjecture.
Measures. The Haar measure. Fundamental domain. Projection of the Haar measure onto the quotient $G/\Gamma$. Lattices in Lie groups. Statements of the remaining Ratner’s theorems.
Foundations of ergodic theory. The Birkhoff – Khinchin theorem (the Pointwise Ergodic Theorem).
Foundations of ergodic theory. The second proof of the Birkhoff – Khinchin theorem (via conditional expectation).
Ergodicity of group actions, basic properties. Statements of ergodic theorems: Hopf’s theorem, the Howe – Moore theorem (theorem on vanishing coefficients of unitary representations or the Vanishing Theorem) and the Moore Ergodicity Theorem.
Proof of the Howe – Moore theorem for the group $\mathbf{SL}_2(\R)$.
Proof of the Howe – Moore theorem for the group $\mathbf{SL}_d(\R)$ and more generally for the semisimple Lie group G.
Applications of Moore’s theorem: the Mostow rigidity theorem; the space $\mathbf{SL}_d(\R)/\mathbf{SL}_d(\Z)$ of unimodular lattices; and Kazhdan’s Property (T).
Sketch of proof of Ratner’s theorems and of proof of the Oppenheim Conjecture.
Arithmetic groups. The Margulis Superrigidity. Margulis’ Arithmeticity Theorem for lattices in Lie groups of rank $> 1$. The theorem of Bader, Fisher, Miller, and Stover on arithmeticity of hyperbolic manifolds.
Эргодическая теория и динамика дискретных групп
Аннотация
Курс посвящен различным применениям эргодической теории к дискретным подгруппам групп Ли. Основные понятия и теоремы, которые планируется пройти в рамках курса: мера Хаара, решетки в группах Ли, эргодические преобразования, теорема Хове - Мура, теоремы Ратнер, теорема жесткости Мостова, теоремы Маргулиса.
Организация курса
Основная составляющая курса - лекции. Лекции будут проходить онлайн в Zoom:
Лекции
24.09.2021. Введение. Пример с тором. Формулировка теоремы Ратнер (Ratner’s Orbit Closure Theorem). Формулировка теоремы Маргулиса про значения квадратичных форм: Oppenheim Conjecture.
01.10.2021. Меры. Мера Хаара. Фундаментальная область. Проекция меры Хаара на фактор G/Г. Решетки в группах Ли. Формулировки остальных теорем Ратнер.
Основы эргодической теории. Теорема Биркгофа - Хинчина (Pointwise Ergodic Theorem).
Основы эргодической теории - продолжение. Второе доказательство теоремы Биркгофа - Хинчина (через условные матожидания).
Эргодичность действий групп, основные свойства. Формулировки эргодических теорем Хопф, Мура, Хове - Мура (теорема об исчезающих коэффициентах унитарных представлений - Vanishing Theorem).
Доказательство теоремы Хове - Мура для группы SL(2).
Доказательство теоремы Хове - Мура для группы SL(d) и в более общем случае для полупростой группы Ли G.
Приложения теоремы Мура: теорема жесткости Мостова, пространство SL(d,R)/SL(d,Z), Kazhdan’s Property (T).
Теоремы Ратнер и доказательство Oppenheim Conjecture.
Арифметические группы. Супержесткость Маргулиса. Теорема Маргулиса об арифметичности решеток в группах Ли ранга > 1. Теорема Бадера, Фишера, Миллера и Стовера про арифметичность гиперболических многообразий.