Geometry in Computer Science (in Russian)

English description

Here is the page of my course “Geometry in Computer Science”, which I’m reading (in Russian) for $3^{rd}$ year students of the Department of Innovation and High Technology at MIPT.

Новости

  • Зачет состоится в среду 20 декабря в 14:00 в ауд. 525 ГК.
  • Итоги, результаты, оценки - см. здесь

Геометрия в компьютерных приложениях

Здесь находится страница курса “Геометрия в компьютерных приложениях”, читаемого мною для студентов 3-го курса ФИВТ МФТИ. Материалы лекций доступны ниже. Из чего складывается оценка за семестр:

  1. Работа на семинарах. На первой половине каждого семинара происходит обсуждение основных приемов и примеров задач. Студенты, участвующие в решении этих задач, могут быть вознаграждены за свою активность. На второй половине семинара каждому студенту выдаются 5 задач, разделенные на 2 варианта по 2 задачи и одну дополнительную задачу повышенной сложности. Каждый студент решает сначала свой вариант, а затем может решать любую из оставшихся задач. Задачи, которые не удалось решить на семинаре, остаются домашним заданием к следующему разу. Их можно сдавать на листочке перед следующим семинаром, при этом они будут давать вдвое меньше баллов, чем задачи, сданные на самом семинаре. Текущая успеваемость групп:
  2. Теоретическая контрольная на 8й лекции 02.11.2017. В вопросах контрольной могут присутствовать задания написать формулировки определений или теорем, а также задачи теоретического характера. Программа доступна ниже.
  3. Две лабораторные работы. Первая из них доступна по ссылке. Вводите там свои группу, фамилию и имя и следуйте инструкциям, разосланным по электронной почте.
  4. Письменный зачет. На зачете могут быть задачи и вопросы более менее любого плана, как формулировки и доказательства теорем, так и счетные или теоретические задачи по программе курса.

Оценка за дифференцированный зачет за семестр будет определяться на основании суммы этих показателей. Более точные баллы за указанные пункты и формула для получения оценки будут объявлены в конце семестра.

Программа зачета 20.12.2017.

  1. Кривые на плоскости и в пространстве. Натуральная параметризация. Кривизна. Кручение. Формулы Френе.
  2. Поверхности. Кривые на поверхностях. Касательное пространство. Первая квадратичная форма.
  3. Гиперповерхности. Вторая квадратичная форма. Кривизны нормальных сечений. Теорема Менье. Формула Эйлера.
  4. Главные кривизны и направления. Гауссова и средняя кривизны. Экстремальные свойства главных кривизн.
  5. Топология. Метрические и топологические пространства. Непрерывные отображения. Компактные, связные, хаусдорфовы топологические пространства. Гомеоморфизмы. Связные компоненты.
  6. Многообразия. Карты, атласы. Касательное пространство. Гладкие отображения гладких многообразий.
  7. Многообразия. Гладкие отображения, их дифференциал как линейное отображение касательных пространств. Погружение, вложение. Гомеоморфизмы и диффеоморфизмы многообразий. Формулировки знаменитых теорем вложения (Уитни, Нэш).
  8. Примеры многообразий. Стандартные пространства. Поверхности, заданные системой уравнений. Матричные группы. Проективное пространство. Касательное расслоение.
  9. Линейные функционалы и внешние (кососимметрические) $k$-формы. Внешнее умножение мономов. Базис и размерность пространства внешних $k$-форм. Общее определение внешнего умножения внешних форм. Свойства.
  10. Дифференциальные формы на многообразиях. Определения, примеры, свойства. Внешнее дифференцирование дифференциальных форм. Точные и замкнутые формы.

Программа лекционной контрольной 02.11.2017.

  1. Кривые на плоскости и в пространстве. Натуральная параметризация. Кривизна. Кручение. Формулы Френе.
  2. Поверхности. Кривые на поверхностях. Касательное пространство. Первая квадратичная форма.
  3. Гиперповерхности. Вторая квадратичная форма. Кривизны нормальных сечений. Теорема Менье. Формула Эйлера.
  4. Главные кривизны и направления. Гауссова и средняя кривизны. Экстремальные свойства главных кривизн.
  5. Топология. Метрические и топологические пространства. Непрерывные отображения. Компактные, связные, хаусдорфовы топологические пространства. Гомеоморфизмы. Связные компоненты.
  6. Многообразия. Карты, атласы. Касательное пространство. Гладкие отображения гладких многообразий.
  7. Многообразия. Гладкие отображения, их дифференциал как линейное отображение касательных пространств. Погружение, вложение. Гомеоморфизмы и диффеоморфизмы многообразий.
  8. Примеры многообразий. Стандартные пространства. Поверхности, заданные системой уравнений. Матричные группы. Проективное пространство. Касательное расслоение.

Лекции

Лекция 1. 07.09.2017. Введение. Геометрия плоских кривых: определения, касательная, нормаль, кривизна, формулы Френе.

Лекция 2. 14.09.2017. Геометрия пространственных кривых и поверхностей: определения, касательная, нормаль, кривизна, формулы Френе, первая квадратичная форма поверхности и ее свойства. Вторая квадратичная форма и теорема Менье.

Лекция 3. 28.09.2017. Геометрия поверхностей и общая топология: главные кривизны и направления, средняя и гауссова кривизна, формула Эйлера, элементы общей топологии.

Лекция 4. 05.10.2017. Добавление про топологию. Геометрия в системах компьютерной алгебры: системы компьютерной алгебры, их особенности.

Лекция 5. 12.10.2017 (предварительная версия). Многообразия: определения, примеры, касательное пространство, функции на многообразиях, диффеоморфизмы, задания многообразий уравнениями.

Лекция 6. 19.10.2017 (предварительная версия). Многообразия: известные примеры, дифференциал гладких отображений, погружения и вложения многообразий. Знаменитые теоремы вложения.

Лекция 7. 09.11.2017 (предварительная версия). Двойственное пространство и базис, внешние формы, внешнее умножение, базис пространства внешних форм. Дифференциальные формы на многообразиях.

Список литературы

[1] В.И. Арнольд — Математические методы классической механики, 2017, Москва, URSS, 5-е изд.

[2] В.И. Богачев, О.Г. Смолянов — Действительный и функциональный анализ: университетский курс, 2-е изд., М-Ижевск, 2011.

[3] А.О. Иванов, А.А. Тужилин — Лекции по классической дифференциальной геометрии, 2009, Москва, Логос.

[4] А.О. Иванов, А.А. Тужилин — Дифференциальная геометрия и топология, 2011, Москва.

[5] Keenan Crane — Discrete Differential Geometry: An Applied Introduction, 2017.

[6] А.С. Мищенко, А.Т. Фоменко — Курс дифференциальной геометрии и топологии, изд. 3-е, перераб. и дополн., Изд-во Лань, Санкт-Петербург, Москва, Краснодар, 2010

[7] А. И. Шафаревич — Курс лекций по классической дифференциальной геометрии, 2007, Москва, МГУ, Механико-математический факультет.